رياضيات المرحلة المتوسطة

رأينا في المقالة السابقة اجتماع الأربعة لتكوين البذرة الأولى التي نبت منها الكمبيوتر

 لكن على ماذا اجتمعوا و ماهو الفكر الجديد في الرياضيات الذي لدى جورج بول و الذي رأت ادا انه يمكن استخدامه في صناعة كمبيوتر جديد ؟

الجبر البولياني , الإسم مخيف لكن لا ابالغ انه ما كنا ندرسه في مادة الرياضيات تحت مسمى “المجموعات” في المرحلة المتوسطة.

المجموعة , المتممة و تقاطع المجموعات و اتحاد المجموعات .. هو نفسه.

هذا درس للمادة لمن اراد ان يتذكر من كتاب الصف السابع في دولة الكويت.

الذي اختلف هنا ان المجموعة الشاملة ش بدل ان تكون للاعداد العشرية اصبحت للأعداد الثنائية اي بها صفر و واحد فقط.

سأقوم بإعادة ما تفضلت به الاستاذة في المسألة.

ش = { 0 , 1 }

س = { 0 }

ص = { 1 }

أوجد كلا من :

1- متممة س هي سَ = ش – س = { 1 }

2- متممة ص هي صَ = ش – ص = { 0 }

لاحظ ان المتممة هي ما نسميه علاقة NOT

لكن لاحظ هنا :

3- س U ص  = { 1, 0 }

هنا النتيجة بها رقمين و يفترض أن يكون هناك رقم واحد فقط لذا نحن بحاجة إلى القوانين التي وضعها Boole و De Morgan

فنجد أن ال { 1 , 0 } = { 1 } لانه حسب قانون Annulment أن A+1=1

و ايضا حسب قانون الIdentity فإن أي رقم يتحد مع الصفر يساوي الرقم نفسه A+0=A

علامة الجمع هنا هي ما نسميه علاقة OR

4- س ⋂ ص = { 0 } و ذلك ايضاً حسب قانوني الIdentity و الAnnulment 

أن أي شيء تقاطع 1 نتيجته كماهو , و اي شي يتقاطع مع الصفر نتيجة صفر

و هذا ما نسميه علاقة AND

لاحظ أن علاقة OR اشبه بالجمع بين العددين فيما أن علاقة AND هي علاقة ضرب. 

سنكمل بهذا الإفتراض للتسهيل :

5- سَ  ⋂ صَ = { 1 } . { 0 } و النتيجة صفر لأنه ضرب .

هنا قمنا بإيجاد المتممة لكلا العددين ثم ضربناهما في بعضها.
الان انظر لهذا الجدول الذي يذكر فيه قوانين الجبر البولياني 

صيغة القانوناسم القانون
A + 1 = 1Annulment
A + 0 = AIdentity
A . 1 = AIdentity
A . 0 = 0Annulment
A + A = AIdempotent
A . A = AIdempotent
NOT A = ADouble Negation
A + A = 1Complement
A . A = 0Complement
A+B = B+ACommutative
A.B = B.ACommutative
A+B = A.Bde Morgan’s Theorem
A.B = A+Bde Morgan’s Theorem

الشيء المهم هنا أنه يمكننا على الأقل أن نجمع و نضرب و ربما بواسطة المتممة أن نطرح كون الطرح عملية عكسية للجمع 

لكن كيف ؟ و كيف يمكننا تمثيل تلك القوانين البوليانية من خلال آلة ؟

هذا في المقالة القادمة